1. EducationMathStatistics10 Schritte zu einer besseren Mathematiknote mit Statistik
Statistik-Arbeitsbuch für Dummies mit Online-Übung, 2. Auflage

Von Deborah J. Rumsey

Statistik und Mathematik sind sehr unterschiedliche Fächer, aber Sie verwenden eine bestimmte Anzahl mathematischer Werkzeuge, um statistische Berechnungen durchzuführen. Manchmal kann man die statistische Idee verstehen, aber in den Formeln und Berechnungen stecken bleiben und die falsche Antwort erhalten. Vermeiden Sie die üblichen Rechenfehler, die Sie bei Hausaufgaben und Prüfungen Punkte kosten können. Lesen Sie weiter, um Ihr Vertrauen in die mathematischen Tools zu stärken, die Sie für Statistiken benötigen.

Studierende der Statistik

Kenne deine mathematischen Symbole

Die grundlegendsten mathematischen Symbole sind +, -, ∙ (Multiplikation) und / (Division); Aber haben Sie jemals das folgende Zeichen gesehen?

Plus minus

Es bedeutet Plus oder Minus und gibt eine Untergrenze und eine Obergrenze für Ihre Antwort an. Andere gebräuchliche mathematische Symbole sind das griechische Sigma „Capital“, das für Summation steht.

In mathematischen Formeln lassen Sie das Multiplikationszeichen häufig weg. Zum Beispiel bedeutet 2x 2 × x.

Wenn Sie auf ein Mathe-Symbol stoßen, das Sie nicht verstehen, bitten Sie um Hilfe. Sie können sich erst mit diesem Symbol vertraut machen, wenn Sie genau wissen, wofür Sie es verwenden und warum. Sie werden überrascht sein, dass die mathematischen Symbole nach dem Aufheben des Rätsels nicht mehr so ​​hart sind, wie es scheint. Sie bieten Ihnen lediglich eine Kurzform, um etwas auszudrücken, das Sie tun müssen.

Wurzeln und Kräfte entwurzeln

Denken Sie daran, dass das Quadrieren einer Zahl das zweimalige Multiplizieren mit sich selbst bedeutet, nicht das zweimalige Multiplizieren. Und die Quadratwurzel zu ziehen bedeutet, die Zahl zu finden, deren Quadrat das Ergebnis liefert. es bedeutet nicht, die Zahl durch 2 zu teilen. Mit der mathematischen Notation bedeutet x2 das Quadrat des Wertes (für x = 3 haben Sie also 32 = 9); und

Quadratwurzel

bedeutet, dass Sie die Quadratwurzel nehmen (für x = 9 bedeutet dies, dass die Quadratwurzel von 9 3 ist).

Sie können die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen, da Sie nichts quadrieren können, um eine negative Zahl zurückzugewinnen. Also muss alles unter einem Quadratwurzelzeichen eine nicht negative Größe sein (das heißt, es muss größer oder gleich 0 sein).

Diese Ideen mögen einfach erscheinen, aber wie alles andere können sie sehr schnell komplex werden. Wenn Sie die Quadratwurzel eines ganzen Ausdrucks finden müssen, setzen Sie alles unter das Quadratwurzelzeichen in Klammern, damit Ihr Taschenrechner die Quadratwurzel des gesamten Ausdrucks erkennt und nicht nur einen Teil davon.

Statistiken beschäftigen sich häufig mit Prozentsätzen - Zahlen, die in Dezimalform zwischen 0 und 1 liegen. Sie müssen wissen, dass Zahlen zwischen 0 und 1 häufig anders funktionieren als große Zahlen. Zum Beispiel werden Zahlen größer als 1 kleiner, wenn Sie die Quadratwurzel ziehen, Zahlen zwischen 0 und 1 werden jedoch größer, wenn Sie die Quadratwurzel ziehen. Zum Beispiel ist die Quadratwurzel von 4 2 (was kleiner als 4 ist), aber die Quadratwurzel von 1/4 ist 1/2 (was größer ist). Und wenn du Kräfte nimmst, passiert das Gegenteil. Zahlen größer als 1, die Sie quadrieren, werden größer. Beispiel: 3 im Quadrat ist 9 (was größer als 3 ist). Zahlen zwischen 0 und 1, die Sie quadrieren, werden kleiner. Beispielsweise ist 1/3 im Quadrat 1/9 (was kleiner ist).

Behandle die Fraktionen mit besonderer Sorgfalt

Jeder Bruch enthält eine Spitze (Zähler) und eine Unterseite (Nenner). Zum Beispiel ist in dem Bruch 3/7 3 der Zähler und 7 der Nenner. Aber was bedeutet ein Bruch wirklich? Es bedeutet Spaltung. Der Bruch 3/7 bedeutet, die Zahl 3 zu nehmen und durch 7 zu teilen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, Brüche verkehrt herum zu lesen, was Sie durch was teilen. Der Bruch 1/10 bedeutet 1 geteilt durch 10, nicht 10 geteilt durch 1. Wenn Sie an einem Beispiel wie diesem festhalten können, von dem Sie wissen, dass es korrekt ist, können Sie diesen Fehler später wieder machen, wenn die Formeln komplizierter werden.

Befolgen Sie die Reihenfolge der Operationen

Denken Sie an „PEMDAS“, um die Reihenfolge der mathematischen Operationen einzuhalten: Klammern, Exponenten (Potenzen einer Zahl), Multiplikation und Division (austauschbar) sowie Addition und Subtraktion. Die Nichtbeachtung der Betriebsreihenfolge kann zu einem großen Fehler führen.

Versuchen Sie Folgendes, um sich an die Buchstaben in PEMDAS für die Reihenfolge der Operationen zu erinnern: "Bitte entschuldigen Sie meine liebe Tante Sally."

Angenommen, Sie müssen beispielsweise Folgendes berechnen:

Reihenfolge der Operationen

Berechnen Sie zunächst, was in Klammern steht. Sie können es entweder so eingeben, wie es in Ihrem Taschenrechner aussieht, oder tun

Beispielgleichung

separat und stecken Sie es dann als -6 + 5 + 0,5 - 8 + 10. Sie sollten 3/2 oder 1,5 erhalten. Teilen Sie als nächstes durch 5, um zu erhalten

3-geteilt durch 2

das entspricht 0,3.

Vermeiden Sie Rundungsfehler

Rundungsfehler können klein erscheinen, sich aber im wahrsten Sinne des Wortes summieren. Viele statistische Formeln enthalten verschiedene Arten von Operationen, die Sie entweder alle auf einmal ausführen können, indem Sie die Klammern richtig verwenden, oder separat, wie es viele Schüler möchten. Es ist in Ordnung, die Vorgänge separat durchzuführen und sie bei jedem Schritt aufzuschreiben, solange Sie in jeder Phase nicht zu viel aufrunden.

Angenommen, Sie müssen rechnen

Runden

Sie möchten jeden Schritt einzeln aufschreiben, anstatt die Gleichung auf einmal zu berechnen. Angenommen, Sie runden bei jeder Berechnung auf eine Stelle nach dem Komma. Zuerst nehmen Sie die Quadratwurzel von 200 (die zu 14,1 rundet), und dann nehmen Sie 5,2 geteilt durch 14,1, was 0,369 ist; Sie runden dies auf 0,4. Als nächstes nehmen Sie 1,96 mal 0,4, um 0,784 zu erhalten, die Sie auf 0,8 runden. Die eigentliche Antwort lautet 0,72068, wenn Sie alle Berechnungen ohne Rundung auf einmal ausführen. Dies rundet sicher auf 0,72. Was für ein großer Unterschied! Was würde Sie dieser Unterschied bei einer Prüfung kosten? Im schlimmsten Fall würde Ihr Professor Ihre Antwort sofort ablehnen, da sie zu weit von der richtigen abweicht. Bestenfalls würde er einige Punkte streichen, da Ihre Antwort nicht präzise genug ist.

Anstatt auf eine Stelle nach dem Komma zu runden, nehmen wir an, Sie runden jedes Mal auf zwei Stellen nach dem Komma. Dies gibt Ihnen immer noch die falsche Antwort von 0,73. Sie sind der richtigen Antwort näher gekommen, sind aber technisch noch nicht in der Lage, und Punkte können verloren gehen. Statistik ist ein quantitatives Feld, und die Lehrkräfte erwarten präzise Antworten. Was ist zu tun, wenn Sie Berechnungsschritte separat durchführen möchten? Behalten Sie bei jedem Schritt mindestens zwei signifikante Nachkommastellen bei und runden Sie ganz am Ende auf zwei Nachkommastellen ab.

Runden Sie nicht zu früh ab, besonders bei Formeln mit vielen Berechnungen. Verwenden Sie am besten Klammern und alle Dezimalstellen in Ihrem Taschenrechner. Andernfalls müssen Sie bis zum Ende mindestens zwei signifikante Stellen nach dem Komma eingeben.

Machen Sie sich mit statistischen Formeln vertraut

Lassen Sie sich nicht von grundlegenden mathematischen und statistischen Formeln in die Quere kommen. Stellen Sie sie sich als mathematische Abkürzung vor. Angenommen, Sie möchten den Durchschnitt einiger Zahlen ermitteln. Sie summieren die Zahlen und dividieren durch n (die Größe Ihres Datensatzes). Wenn Sie nur wenige Zahlen haben, ist es einfach, alle Anweisungen aufzuschreiben, aber was ist, wenn Sie 1.000 Zahlen haben? Mathematiker haben sich Formeln ausgedacht, um schnell zu sagen, was Sie tun sollen, und die Formeln funktionieren unabhängig von der Größe Ihres Datensatzes. Der Schlüssel ist, sich mit Formeln vertraut zu machen und sie zu üben.

Bleib ruhig, wenn die Formeln hart werden

Angenommen, Sie stoßen auf eine Formel, die etwas kompliziert ist? Wie bleibst du ruhig und cool? Beginnen Sie mit kleinen Formeln, lernen Sie die Seile und wenden Sie dann die gleichen Regeln auf die größeren Formeln an. Deshalb müssen Sie verstehen, wie die "einfachen" Formeln funktionieren, und sie als Formeln verwenden können. Sie sollten sie nicht nur im Kopf herausfinden, da Sie in diesem Fall die Formel nicht benötigen. Die einfachen Formeln verbessern Ihre Fähigkeiten, wenn die Dinge schwieriger werden.

Fühlen Sie sich gut über Funktionen

In Mathematik und Statistik werden häufig verschiedene Variablen miteinander in Beziehung gesetzt. Um beispielsweise die Fläche eines Quadrats zu erhalten, nehmen Sie die Länge einer der Seiten und multiplizieren sie mit sich selbst. In mathematischer Notation sieht die Formel folgendermaßen aus: A = s2. Diese Formel repräsentiert wirklich eine Funktion. Es heißt, dass die Fläche des Quadrats von der Länge seiner Seiten abhängt. Es bedeutet auch, dass Sie nur die Länge einer der Seiten kennen müssen, um die Fläche des Quadrats zu erhalten. In der Fachsprache Mathematik sagen Sie, dass die Fläche eines Quadrats von der Länge seiner Seiten abhängt. Funktion bedeutet nur "hängt ab von".

Angenommen, Sie haben eine Linie mit der Gleichung y = 2x + 3. Die Gleichung gibt an, dass x und y zusammenhängen, und Sie wissen, wie sie zusammenhängen. Wenn Sie einen Wert für x annehmen, diesen mit zwei multiplizieren und drei addieren, erhalten Sie den entsprechenden Wert für y. Angenommen, Sie möchten y finden, wenn x –2 ist. Um y für ein gegebenes x zu finden, geben Sie diese Zahl für x ein und vereinfachen Sie sie. In diesem Fall ist y = (2) (- 2) + 3. Dies vereinfacht sich zu y = –4 + 3 = –1.

Sie können dieselbe Funktion auch verwenden und einen beliebigen Wert für y eingeben, um den entsprechenden Wert für x zu erhalten. Angenommen, Sie haben y = 2x + 3, und Sie erhalten y = 4 und werden aufgefordert, nach x zu lösen. Wenn Sie 4 für y eingeben, erhalten Sie 4 = 2x + 3. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie normalerweise das Unbekannte auf der einen Seite der Gleichung und den Zahlenteil auf der anderen Seite sehen. In diesem Fall sehen Sie es umgekehrt. Mach dir keine Sorgen, wie es aussieht. Erinnern Sie sich, was Sie tun müssen. Sie müssen x auf einer Seite alleine lassen, nutzen Sie also Ihre algebraischen Fähigkeiten, um dies zu erreichen. In diesem Fall subtrahieren Sie 3 von jeder Seite, um 4 - 3 = 2x oder 1 = 2x zu erhalten. Teilen Sie nun jede Seite durch 2, um 0,5 = x zu erhalten. Du hast deine Antwort.

Sie können eine Formel auf viele verschiedene Arten verwenden. Wenn Sie alle anderen Informationen haben, können Sie den verbleibenden Teil immer auflösen, unabhängig davon, wo er in der Gleichung steht. Behalten Sie einfach Ihre Coolness und nutzen Sie Ihre Algebra-Fähigkeiten, um es zu erledigen.

Bestimmte häufig verwendete Funktionen haben Namen. Eine Gleichung mit einem x und einem y wird beispielsweise als lineare Funktion bezeichnet, da Sie beim Zeichnen eine gerade Linie erhalten. In der Statistik werden häufig Linien verwendet, und Sie müssen die beiden Hauptteile einer Linie kennen: die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Wenn die Gleichung der Linie die Form y = mx + b hat, ist m die Steigung (die Änderung von y über die Änderung von x) und b der y-Achsenabschnitt (die Stelle, an der die Linie die y-Achse schneidet). . Angenommen, Sie haben eine Linie mit der Gleichung y = –2x - 10. In diesem Fall ist der y-Achsenabschnitt –10 und die Steigung –2.

Die Steigung ist die Zahl vor dem x in der Gleichung y = mx + b. Wenn Sie die vorherige Gleichung als y = –10 - 2x umschreiben, ist die Steigung immer noch –2, da –2 die Zahl ist, die zu x passt. Und –10 ist immer noch der y-Achsenabschnitt.

Wissen Sie, wann Ihre Antwort falsch ist

Sie sollten sich immer Ihre Antwort ansehen, um festzustellen, ob es sinnvoll ist, welche Art von Nummer Sie erwarten. Kann die Zahl, die Sie berechnen, negativ sein? Kann es eine große Zahl oder ein Bruch sein? Ist diese Nummer sinnvoll? All diese Fragen können Ihnen helfen, Fehler bei Prüfungen und Hausaufgaben zu finden, bevor Ihr Lehrer dies tut.

Wenn in einem Bruch der Zähler (oben) größer als der Nenner (unten) ist, ist das Ergebnis größer als 1. Wenn der Zähler (oben) kleiner als der Nenner (unten) ist, ist das Ergebnis kleiner als 1. Und wenn Der Zähler (oben) und der Nenner (unten) sind genau gleich, das Ergebnis ist genau 1.

Zeigen Sie Ihre Arbeit

Sie sehen die Anweisungen "Zeigen Sie Ihre Arbeit!" In Ihren Prüfungen, und Ihr Ausbilder harpt und harpt darauf. Dennoch glauben Sie nicht ganz, dass es so wichtig sein kann, Ihre Arbeit zu zeigen. Nehmen Sie es von einem erfahrenen Professor, es ist. Hier ist der Grund:

  • Indem Sie Ihre Arbeit zeigen, kann die Person, die Ihre Arbeit bewertet, genau sehen, was Sie versucht haben, auch wenn die Antwort falsch ist. Dies wirkt sich zu Ihrem Vorteil aus, wenn Ihre Arbeit auf dem richtigen Weg war. Die einzige Möglichkeit, Ihre Arbeit teilweise zu würdigen, besteht darin, nachzuweisen, dass Sie die richtige Idee hatten, und dies müssen Sie schriftlich tun. Wenn Sie Ihre Arbeit nicht zeigen, wird dies für die Person, die Ihre Arbeit bewertet, schwierig und kann Sie auf indirekte Weise Punkte kosten. Die Benotung ist ein enormer Arbeitsaufwand. So wirkt sich der „Einstufungseffekt“ auf Ihren Lehrer letztendlich auf Sie aus. Ihr Lehrer hat einen großen Stapel von Aufgaben zu benoten und nur so viel Zeit (und Energie), um sie alle zu benoten. Ein Papier mit einem großen, durcheinandergebrachten Bereich, in dem gekritzelt, gelöscht, durchgestrichen und verschmiert wird, zeigt seinen hässlichen Kopf. Es gibt keine klaren Spuren darüber, was passiert oder was der Student dachte. Zahlen werden in alle Richtungen verschoben, ohne dass eindeutige Schritte oder Muster folgen müssen. Wie viel Zeit können (werden) Lehrer darauf verwenden, dieses Problem zu lösen? Die Lehrer müssen irgendwann weitermachen. Wir können nur so viel tun, um herauszufinden, was die Schüler während einer Prüfung dachten.

Hier ist eine andere typische Situation. Ein Lehrer schaut sich zwei Papiere an, beide mit der richtigen Antwort. Eine Person schrieb alle Schritte auf, beschriftete alles und umkreiste die Antwort, aber die andere Person schrieb einfach die Antwort auf. Geben Sie beiden Leuten die volle Ehre? Einige Lehrer tun es, aber viele nicht. Warum? Weil der Ausbilder nicht sicher ist, ob Sie die Arbeit selbst gemacht haben. Die Lehrer raten normalerweise nicht dazu, Mathe „in deinem Kopf“ zu machen. Wir möchten, dass du deine Arbeit zeigst, weil die Formeln eines Tages selbst für dich so kompliziert werden, dass du dich nicht allein auf deinen Verstand verlassen kannst, um sie zu lösen. Außerdem müssen Sie nachweisen, dass die Arbeit Ihre eigene ist.

Was ist, wenn Sie die Antwort aufschreiben und sie falsch ist, aber nur ein kleiner Fehler zum Fehler geführt hat? Wenn Sie nicht nachvollziehen können, was Sie gedacht haben, kann Ihnen der Lehrer keinen Teil des Verdienstes einbringen, und die geringsten Fehler können Sie viel Zeit kosten.

  • Das Zeigen Ihrer Arbeit stellt gute Gewohnheiten her, die ein Leben lang halten. Jedes Mal, wenn Sie ein Problem bearbeiten, sei es im Unterricht, bei den Hausaufgaben, beim Lernen für eine Prüfung oder bei einer Prüfung, werden gute Dinge passieren, wenn Sie jedes Mal dasselbe Verfahren anwenden.

Hier ist eine großartige Möglichkeit, ein mathematisches Statistikproblem zu lösen:

  1.  Schreiben Sie die Formel, die Sie verwenden möchten, vollständig auf (einschließlich Buchstaben).  Notieren Sie sich deutlich, welche Zahl Sie für jede Variable in den Formeln eingeben. Zum Beispiel ist x = 2 und y = 6.  Arbeiten Sie die Berechnungen Schritt für Schritt aus und zeigen Sie jeden Schritt klar und deutlich.  Kreise deine endgültige Antwort klar ein.

Das Hauptargument, das Studenten vorbringen, wenn sie ihre Arbeit nicht zeigen, ist, dass es zu lange dauert. Ja, es dauert auf kurze Sicht etwas länger, Ihre Arbeit zu zeigen. Das Anzeigen Ihrer Arbeit spart jedoch auf lange Sicht Zeit, da Sie Ihre Ideen auf Anhieb klar organisieren, die Fehler reduzieren und weniger Zeit für eine erneute Überprüfung benötigen das Ende. Wenn Sie Zeit haben, Ihre Antworten noch einmal zu überprüfen, fällt es Ihnen leichter, festzustellen, was Sie getan haben, und einen möglichen Fehler zu finden. Das Zeigen Ihrer Arbeit ist eine Win-Win-Situation. Versuchen Sie, Ihre Arbeit etwas klarer darzustellen und zu sehen, wie sich dies auf Ihre Noten auswirkt.